小白也能懂的离散数学[代数结构第四讲]：群的定义和性质

引言

大家好！欢迎来到离散数学代数结构系列的第四讲。前三讲我们铺垫了代数系统、二元运算、半群和幺半群（独异点）的概念。今天，我们要深入探讨代数结构中一个极其重要且应用广泛的对象—— 群(Group)。群论是现代数学、物理、化学、计算机科学（如密码学、编码理论）乃至晶体学等领域的基石。别担心，我们会从最基础的定义和性质讲起，用清晰的例子和总结帮你牢牢掌握！本节课只聚焦群的定义和其核心性质。

一、群的定义：四个不可或缺的条件

想象一个非空集合 G，以及定义在这个集合上的一个二元运算（我们通常用 · 或 ∘ 表示，有时也省略符号直接写 ab）。这个代数结构 被称为一个 群(Group) ，当且仅当它同时满足以下四个条件 ：

封闭性(Closure):

定义： 对于集合 G 中的任意两个元素 a 和 b，它们进行二元运算 · 的结果 a·b 也一定还在集合 G 中。符号表示： ∀ a, b ∈ G, a·b ∈ G白话理解： 自己人关起门来玩运算，结果跑不出这个圈子。这是代数系统最基本的要求。

结合律(Associativity):

定义： 对于集合 G 中的任意三个元素 a, b, c，进行连续运算时，先算哪两个不影响最终结果。即 (a·b)·c = a·(b·c)。符号表示： ∀ a, b, c ∈ G, (a·b)·c = a·(b·c)白话理解： 运算顺序可以加括号改变结合方式，但结果不变。这保证了运算的“稳定性”，是半群就有的性质。

单位元存在(Identity Element):

定义： 在集合 G 中，存在一个特殊的元素 e（称为单位元或幺元），使得 G 中的任意元素 a 与 e 进行运算，结果都还是 a 本身。无论 e 在左边还是右边。符号表示： ∃ e ∈ G, ∀ a ∈ G, e·a = a·e = a白话理解： 存在一个“啥也不干”的元素，就像加法里的 0 (a + 0 = 0 + a = a) 或乘法里的 1 (a * 1 = 1 * a = a)。这是幺半群（独异点）就有的性质。

逆元存在(Inverse Element):

定义： 对于集合 G 中的任意元素 a，在 G 中都存在另一个元素 b（称为 a 的逆元，通常记作 a⁻¹），使得 a 和 b 进行运算的结果等于单位元 e。同样，无论谁在左在右。符号表示： ∀ a ∈ G, ∃ b ∈ G (称为 a⁻¹), a·b = b·a = e白话理解： 每个元素都有一个“搭档”，它们俩一运算就“抵消”成啥也不干的单位元。比如加法中 a 的逆元是 -a (a + (-a) = 0)，乘法中 a (a≠0) 的逆元是 1/a (a * (1/a) = 1)。这是群区别于幺半群的关键条件！

📊 定义记忆表：群的四要素

序号性质符号表示关键点记忆口诀1封闭性∀ a,b ∈ G, a·b ∈ G运算结果不出圈“关门玩”2结合律∀ a,b,c ∈ G, (a·b)·c=a·(b·c)运算顺序可结合，结果不变“括号随便加”3单位元存在∃ e ∈ G, ∀ a ∈ G, e·a=a·e=a存在一个“啥也不干”的元素“有个懒家伙”4逆元存在∀ a ∈ G, ∃ a⁻¹ ∈ G, a·a⁻¹=a⁻¹·a=e每个元素都有“搭档”能抵消“人人有伙伴”

二、群的核心性质

满足了以上四个定义条件，群就具有了一系列美妙且强大的性质。这些都是可以直接从定义推导出来的：

单位元唯一性： 一个群 中，有且只有一个单位元 e 。

证明思路： 假设有两个单位元 e1 和 e2。根据单位元定义，e1·e2 应该等于 e2（因为 e1 是单位元），也应该等于 e1（因为 e2 是单位元）。所以 e1 = e2。矛盾！故唯一。

逆元唯一性： 群中每个元素 a 的逆元 a⁻¹ 是唯一确定的 。

证明思路： 假设 a 有两个逆元 b 和 c。考虑 b·a·c。一方面，(b·a)·c = e·c = c（因为 b 是 a 的逆元）。另一方面，b·(a·c) = b·e = b（因为 c 是 a 的逆元）。所以 b = c。矛盾！故唯一。

消去律(Cancellation Law)：

左消去律： 若 a·b = a·c，则必有 b = c。右消去律： 若 b·a = c·a，则必有 b = c。符号表示： ∀ a, b, c ∈ G, a·b = a·c ⇒ b = c 且 b·a = c·a ⇒ b = c 。理解： 可以把等式两边相同的元素“消掉”。这是由逆元存在和结合律保证的。证明思路(左消去)： a·b = a·c ⇒ 两边左乘 a⁻¹ ⇒ a⁻¹·(a·b) = a⁻¹·(a·c) ⇒ (a⁻¹·a)·b = (a⁻¹·a)·c (结合律) ⇒ e·b = e·c ⇒ b = c。

方程可解性： 对于群 G 中任意给定的元素 a 和 b，方程 a·x = b 和 y·a = b 在 G 中都有唯一解 。

解是什么？ a·x = b 的唯一解是 x = a⁻¹·b。y·a = b 的唯一解是 y = b·a⁻¹。证明思路(a·x=b)： x = a⁻¹·b 是解：a·(a⁻¹·b) = (a·a⁻¹)·b = e·b = b。唯一性由消去律保证：若 a·x1=b 且 a·x2=b，则 a·x1=a·x2 ⇒ x1=x2。

群中无零元(No Zero Element)： 在群定义中，如果存在一个元素 z 使得对所有 a 有 a·z = z·a = z（这就是零元的定义），那么 z 只能是单位元 e，且此时群只能是平凡的 {e}。非平凡群中不存在零元 。

证明思路： 假设存在零元 z。设 a 是任意元素。a·z = z (零元定义)。但同时，a·e = a (单位元定义)。因为 z ≠ e (否则是平凡群)，这就矛盾了 (a·z 既等于 z 又需要满足单位元性质？除非 a=e)。

无幂等元(除了单位元)： 除了单位元 e（因为 e·e=e）以外，群中不存在其他元素 a 满足 a·a = a（这样的元素称为幂等元） 。

证明思路： 假设 a·a = a 且 a ≠ e。则 a·a = a·e。根据左消去律，消去 a，得到 a = e。这与 a ≠ e 矛盾。

📊 性质总结表：群的基本特征

序号性质关键描述重要性1单位元唯一有且只有一个 e群的基准点2逆元唯一每个 a 有唯一的 a⁻¹“抵消”操作的基础3消去律a·b=a·c ⇒ b=c / b·a=c·a ⇒ b=c解方程、运算表性质的关键4方程可解a·x=b / y·a=b 有唯一解群结构“良好”的体现5无零元非平凡群中没有使所有运算归零的元区别于有零元的环等结构6无其他幂等元只有 e 满足 a·a=a反映群元素的“活性”

三、例题辅助理解

光有定义和性质太抽象，让我们看几个具体的例子，验证它们是否是群，并体会性质的应用。

例1：整数加法群 <ℤ, +>

集合： 所有整数 ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}运算： 加法 +验证：

封闭性： 任意两个整数相加，结果还是整数。✔️结合律： (a+b)+c = a+(b+c) 对所有整数成立。✔️单位元： 0 是单位元，因为 a + 0 = 0 + a = a 对所有整数 a 成立。✔️逆元： 对于任意整数 a，它的逆元是 -a，因为 a + (-a) = (-a) + a = 0。✔️

结论： <ℤ, +> 是一个群，称为整数加法群。它是一个无限群（元素无限多）。性质体现：

单位元 0 唯一。元素 5 的逆元是 -5，唯一。若 3 + x = 3 + 7，则 x = 7 (消去律)。方程 5 + x = 2 有唯一解 x = -3 (x = 5⁻¹ + 2 = (-5) + 2 = -3)。

例2：非零实数乘法群 <ℝ\\{0}, ×>

集合： 所有非零实数 ℝ\\{0}运算： 乘法 ×验证：

封闭性： 两个非零实数相乘，结果还是非零实数。✔️结合律： (a×b)×c = a×(b×c) 对所有非零实数成立。✔️单位元： 1 是单位元，因为 a × 1 = 1 × a = a 对所有非零实数 a 成立。✔️逆元： 对于任意非零实数 a，它的逆元是 1/a，因为 a × (1/a) = (1/a) × a = 1。✔️

结论： <ℝ\\{0}, ×> 是一个群。性质体现：

单位元 1 唯一。元素 2 的逆元是 0.5，唯一。若 3 × x = 3 × 4，则 x = 4 (消去律)。方程 2 × x = 5 有唯一解 x = 2.5 (x = 2⁻¹ × 5 = (1/2) × 5 = 2.5)。无零元： 0 被排除在集合外，集合内无元素能像零元那样（乘任何数等于自身？比如 0×5=0，但 0 不在集合里）。无其他幂等元： a×a=a ⇒ a(a-1)=0 ⇒ a=0 或 a=1。a=0 不在集合内，a=1 是单位元。所以除了 1 没有其他元素满足 a×a=a。

例3：模6加法群 <ℤ₆, +₆>

集合： ℤ₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5} (模6的剩余类)运算： 模6加法 +₆ (即 a +₆ b = (a + b) mod 6)验证：

封闭性： 两个在 0 到 5 的数相加模6，结果仍在 0 到 5 之间。✔️ (如 4 +₆ 3 = 7 mod 6 = 1)结合律： 模加法满足结合律。✔️单位元： 0 是单位元，因为 a +₆ 0 = 0 +₆ a = a。✔️逆元：

0⁻¹ = 0 (0 +₆ 0 = 0)1⁻¹ = 5 (1 +₆ 5 = 6 mod 6 = 0)2⁻¹ = 4 (2 +₆ 4 = 6 mod 6 = 0)3⁻¹ = 3 (3 +₆ 3 = 6 mod 6 = 0)4⁻¹ = 2 (4 +₆ 2 = 6 mod 6 = 0)5⁻¹ = 1 (5 +₆ 1 = 6 mod 6 = 0)每个元素都有逆元！✔️

结论： <ℤ₆, +₆> 是一个群，且是一个有限群，阶为6（有6个元素）。性质体现：

单位元 0 唯一。每个元素的逆元如上述，唯一。若 2 +₆ x = 2 +₆ 4，则 x = 4 (消去律)。方程 3 +₆ x = 1 有唯一解 x = 4 (`x = 3⁻¹